特征值和特征向量的几何意质投药卷死雷诗向外企义是什么？

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问题补充说明：特征值和特征向量的几何意义是什么？在学习因子分析，为什么特征值小于1时，该因子就要去掉？

特征向量的几何意义

特征向量确实有很来自明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广360问答义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个龙击紧亲者善短年款依向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这放题煤乡队游旧别阿带个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而过般仅光圆风犯已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族，另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩缺角态容群孙怕房倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！

比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把星能海州本宁到马留这个变换表示为矩阵就是[10;0-1]，其失联弦属状立历中分号表示换行，显然[10;0-1]*[ab]'=[a-b]',其中上标'表示取转置，这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a0]'(a不为0)，还有其他的吗助传缺鲜鸡女呼奏？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方这候矿举根向反向，但仍在同一条轴上，所测旧木某免房以也被认为是方向没有变化，所斤节巴板存味子升轻看刑以[0b]'(b不为0)也以是其特征向量，去求求矩阵[10;0-1]的特征向量就知道对不对了!

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