杨辉三角形

杨辉三角形

问题补充说明：1234654656416541514312121321

　　其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的来自篇章，而贾宪三角的发现就是十分精彩的一页。

　　北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家呀微助指福副己植歌杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

　　杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性科样质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。

　　杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》360问答一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。

　　同时，这也是多项式(a+b)^n打开括号后的各个项的二次项系数的规律。因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（ynCrx）。我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2^(x-1)(即(a+b)^x中a,b都为1的时候)。上述y^x指y的x次方，(anCrb)指组合数。

永这军青精积临计认好　　而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。

　　简益宽础民紧及发油南单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。

　　这就是杨辉三角，也边成要构难九白配输伤美叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。

　　他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去，

阿翻起象　　杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：

　　1n=0

量洋富尔渐煤孔阿　　11n=1

　　121n=2

　　1331n=3

　　14641n=形守绿迅无境庆4

　　15101051n=5

　在喜今执两坚王思响倍　1615201561n=6

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　　[编辑本段]特征

　　与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式展开式的系数列。

　　对五们量品眼作称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”。

　　结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和。

　　这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1。

　　从右往左斜着看,从左往右斜着看，和前面的看法一样，这个数列是左右对称的。

　　啊么烈连样复上面两个数之和就是下面的一三行自白钢句为副载故万行的数。

　　这行数是第几行，就是第二个数加一。

　　实际操作运用范例

直着否曾脱影烈很义运　　这是“杨辉三角”的格式对于杨辉三角，很多初中生，甚至很多高中生乱示只知道此三角中的还某数等于它上排向另两数之和，而忽视了杨辉三角的实际运用。

　　不难发现，除了上述特点外，杨辉三角还有另一个便整时著自特点：

　　此数列中各换希功松首孔行中的数字正好是二项式a+b乘方后，展开始终各项的系数。如：

　　(a+b)^1=a^1+b^1

　　(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

　　杀六片可晚汉(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

　　……

　　(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6（注意发现规律）

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　　如此一来，对于普通考试中所出现的高系数运算的展开运算，我们就不必因怕运算出错而担忧了。但这只是类似公式的技法，想要运算能力增强，还是一个一个拆着练吧。

　　另外，文章开头提到的“贾宪三角”和“杨辉三角”是有区别的。只需将杨辉三角顺时针旋转90度，便得到贾宪三角，如下：

　　11111111

　　7654321

　　211510631

　　35201041

　　351551

　　2161

　　71

　　1

　　这些数列，能有效地运用于解数字系数的高次方程。无论是在几何、代数还是三角函数中，上述方法都能不同程度的提高解题效率。

　　[编辑本段]杨辉三角的前50行

　　第0行：

　　1

　　第1行：

　　11

　　第2行：

　　121

　　第3行：

　　1331

　　第4行：

　　14641

　　第5行：

　　15101051

　　第6行：

　　1615201561

　　第7行：

　　172135352171

　　第8行：

　　18285670562881

　　第9行：

　　193684126126843691

　　第10行：

　　1104512021025221012045101

　　第11行：

　　1115516533046246233016555111

　　第12行：

　　1126622049579292479249522066121

　　第13行：

　　11378286715128717161716128771528678131

　　第14行：

　　11491364100120023003343230032002100136491141

　　第15行：

　　11510545513653003500564356435500530031365455105151

　　第16行：

　　116120560182043688008114401287011440800843681820560120161

　　第17行：

　　1171366802380618812376194482431024310194481237661882380680136171

　　第18行：

　　118153816306085681856431824437584862043758318241856485683060816153181

　　第19行：

　　1191719693876116282713250388755829237892378755825038827132116283876969171191

　　第20行：

　　1201901140484515504387607752012597016796018475616796012597077520387601550448451140190201

　　第21行：

　　121210133059852034954264116280203490293930352716352716293930203490116280542642034959851330210211

　　第22行：

　　122231154073152633474613170544319770497420646646705432646646497420319770170544746132633473151540231221

　　第23行：

　　123253177188553364910094724515749031481719011440661352078135207811440668171904903142451571009473364988551771253231

　　第24行：

　　12427620241062642504134596346104735471130750419612562496144270415624961441961256130750473547134610413459642504106262024276241

　　第25行：

　　12530023001265053130177100480700108157520429753268760445740052003005200300445740032687602042975108157548070017710053130126502300300251

　　第26行：

　　1263252600149506578023023065780015622753124550531173577261609657700104006009657700772616053117353124550156227565780023023065780149502600325261

　　第27行：

　　1273512925175508073029601088803022200754686825843628513037895173838602005830020058300173838601303789584362854686825222007588803029601080730175502925351271

　　第28行：

　　1283783276204759828037674011840403108105690690013123110214741803042175537442160401166003744216030421755214741801312311069069003108105118404037674098280204753276378281

　　第29行：

　　1294063654237511187554750201560780429214510015005200300103459729051895935678639157755876077558760678639155189593534597290200300101001500542921451560780475020118755237513654406291

　　第30行：

　　13043540602740514250659377520358005852925143071503004501554627300864932251197598501454226751551175201454226751197598508649322554627300300450151430715058529252035800593775142506274054060435301

　　第31行：

　　1314654495314651699117362812629575788872520160075443521658467231514112052520625307526518252530054019530054019526518252520625307514112052584672315443521652016007578887252629575736281169911314654495465311

　　第32行：

　　13249649603596020137690619233658561051830028048800645122401290244802257928403473736004714356005657227206010803905657227204714356003473736002257928401290244806451224028048800105183003365856906192201376359604960496321

　　第33行：

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　　第34行：

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　　第35行：

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　　第36行：

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　　第37行：

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　　第39行：

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　　第40行：

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　　第41行：

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　　第42行：

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　　第43行：

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