Simone己知设函数f（x）=ln（x+2）-（x+1）eax．（1）若a=0，求f（x）极值；（2）证明：当a＞-1，a≠0时，函数f（x）在（-1，+∞）上存在零点．
的有关信息介绍如下：
解：（1）函数f（x）=ln（x+2）-（x+1）eax．
当a=0时，f（x）=ln（x+2）-（x+1），定义域为（-2，+∞），
由，得x=-1．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （-2，-1） -1 （-1，+∞） f′（x） + 0 - f（x） ↗ 极大值 ↘ 故当x=-1时，f（x）取得极大值0，无极小值．
（2）证明：，x＞-2．
①当a＞0时，
因为x＞-1，所以，f"（x）在（-1，+∞）单调递减．
因为f"（-1）=1-e-a＞0，，
所以存在x1∈（-1，0），使g"（x1）=0，当-1＜x＜x1时，f"（x）＞0，
当x＞x1时，f"（x）＜0，所以f（x）在（-1，x1）单调递增，在（x1，+∞）单调递减．
所以f（x0）＞f（-1）=0，而f（0）=ln2-1＜0，所以f（x）在（-1，+∞）存在零点．
②当-1＜a＜0时，由（1）得ln（x+2）≤（x+1），于是ex≥x+1，所以e-ax≥-ax+1＞-a（x+1）．
所以f（x）=eax[e-axln（x+2）-（x+1）]＞-eax（x+1）[aln（x+2）+1）]．
于是．
因为f（0）=ln2-1＜0，所以所以f（x）在存在零点．
综上，当a＞-1，a≠0时，函数f（x）在（-1，+∞）上存在零点．
