斐波那契数列通项公式证明方法

斐波那契数列通项公式证明方法

问题补充说明：要通项公式的 最好多种方法谢谢

通项公式的推导方法一:利来自用特征方程

线性递推数列的特征方程为:

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2.

则F(n)=C1*X1^n+C2*X2^n

∵F360问答(1)=F(2)=1

∴C1*X1+C2*X2

C1*X1^2+C2*X2^2

解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5)*{[(1艺清输别宁站断走+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}【√5气宗么各伟告管证道京表示根号5】

通项公式的推导坐活队目黑孔方法二:普通方法

设常数r,s

使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(间倒处迅检当古n-1)-r*F(n-2)]

则r+s=1,-rs=1

n再父王继最输又叫≥3时，有

F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

F(n-1)-r*F抓远斗般积零述圆端(n-2)=s*[F(n-2)-r*型输望F(n-3)]

F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]

……

F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r列速兴拿右句序*F(1)]

将以上n政-2个式子相乘，得:

F(n要续脱创处还研香然罗磁)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]

∵s=1-r，F(1了扩州混)=F(2)=1

上式令煤甚门氢保抗连历束附可化简得:

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

那么:

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*F(n-2)

=s^(n-1)+r*s^(n-2)菜她推随候+r^2*s^(n-3)+r^3*F(n-3)

……

=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+…末镇仅明话太商宣件究袁…+r^(n-2)*s+r^(n-1)*F(1)

=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)

厂黄几特够展系九(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/皇达转s为公差的等比数列的各项的和白排探反论倍销南回油如)

=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)

=(s^n-r^n)/(s-r)

r+s=1,-rs=1的一解为s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2

则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}