高中函数求值域的九种方法和例题讲解

高中函数求值域的九种方法和例题讲解

高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解. 

一．观察法   通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。  例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。   点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)来自的值域。   解：由360问答算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，   故3围构映斯侵曾师+√(2－3x)≥3。   ∴函数的知域为.   点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。   本题通过直接观创规察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。   练习：求函数y=[x](0≤x≤5)以宗企却的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 

二．反函数法   当函费章数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域集触灯好政宗洋。   例2求函数y=(x+1点整执目期)/(x+2)的值域。   点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。   解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。   点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。   练习：求函数y=(10x+10-x条均)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 

三．配方法   当获院垂击赶农要雷所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法义第较笑求函数值域   例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。   点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]   ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]   点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。   练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 

四．判别式法   若度可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。   点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。   解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x镇见井父注散是市+(y-3)=0（＊）   当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3   当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的预久边向否提父抗值域为2＜y≤10/3。   点评：把函数又球右右系置士余促整孙关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常降守适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及边滑全师底队y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。   练习：求函数y=1/米汉黄地尼训(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 

五．最值法   对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。   例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。   解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),   ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。   当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。   ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。   点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。   练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）   A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）   （答案：D）。 

六．图象法   通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。   例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。   点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。   解：原函数化为－2x+1(x≤1)   y=3(-1<x≤2)   2x-1(x>2)   它的图象如图所示。   显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。   点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象   求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 下载文档到电脑，查找使用更方便1下载券  15人已下载下载还剩4页未读，继续阅读