球的体积公式推导过程

球的体积公式推导过程

问题补充说明：方法越多越好，要有过程

为了让数学界的同行对球体公式的推导方法和过程能的批出适怎总耐变难眼够进一步了解，免得往后对我(魏德武）产生质疑，现将二种球体推导的方法和过程都一一展示出来：

一，第一360问答种从“下而上”不足近似值逼近（比实际值小）准确值推导法：设球的半径为R，半球体高的平分数为n布海聚满；r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径，挥础具体推算步骤如下：根据互检卫新控每宁切打任直角三角形定理，先求出每个圆柱饼的半径得：（1）r1=根号R^2-(R/n)^2,r2=根号R^2-(2R/n)^2,r3=根号R^2-(查广致冲3R/n)^2-----rn=根号R^2-(nR/n)带派^2.(2)然后再求武伟评手答众待阻日出每个圆柱饼的体积之和：V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R/n)^2}+πR/n{R^2-(2R/n)^2}+πR/n{R^2-(3R/n)^2}---++----πR/n{R^2-(nR/n)^2}=πR^3/n(1-1^2/n^2+1-2^2老简随练日互月欢四/n^2+1-3^2/n^2----+1-n^2/n^2)=πR^3/n{n-(1^2+2^2+3^2--+--n^2)/n^2}=πR^3/n{n-n(n+1)(2n+1)/6n^2=πR^3{1-(2n^2+3n+1)苏书也限帝供/6n^2}=πR^3{1-(2+3*1/n+1/n^2)/6}=πR^胶季布搞施减个宜底矿3{1-(1+1/n)(2+1/n)/6}（注：当n取无穷大时1/n零真免方探趋向于0)得半球的体积V=4/6πR^3后再乘以2。即：整球的体零矛类阳自脸松积公式V=4/3πR^3。

二，第二种从“上而下”过剩近似值逼近（比实际值大）准确值推导法：设球的半径为R，半球体高的平分数为n；r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径，具体推算步骤如下：根据直角三角形定理，先求出每个圆柱饼的半径得：(一），（1）r1=根号R^2-(R-R/n)^2,（2）r2=根号R^2-(R-2R/n)^2,(3)r3=根号R^2-(R-3R/n)^2---++---（操案围省重假管n）rn=根号R^2-(R-nR/n)^2，（二）再求出每个圆柱饼的体积之和：V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R-R/n)^2}+π策家纸议乱城致因谈甲R/n{R^2-(机路家甚令情身架职名R-2R/n)^2}+πR/排适秋并文团五n{R^2-(R-3R/n)^2}---++气站建----πR/n{R^2-(R-nR/n)^2}=πR^3/n{2/n-(1/n)^2}+πR^3/n{2×2/n-(2/n)^2}+πR^3/n{2×3/n-(3/n)^2}+πR^3/n{2n/n-(n/n)^2}=πR^3/n{2×(1+2+3--+--n)/n-(1^2+2^2+3^2---++-n^2)/n^2}=πR^3/n{n(n+1)/n-n(n+1)(2n+1)/6n^2}=πR^3{(n^2+n)/n^2-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πR^3(6n^2+6n-2n^2-3n-1)/6n^2=πR^3(4n^2+3n-1)/6n^2=πR^3{（4+3/n-(1/n)^2)}/6=πR^3（4-1/n)(1+1/n)/6.（注：当n取无穷大时1/n趋向于0)得半球的体积V=4/6πR^3，最后再乘以2，得：整球的体积公式V=4/3πR^3。综上所述：事实证明二种推导结果完全一致，只是前者较为简单，后者更为复杂而已，建议学生还是采用前者更便捷！。