特征值

特征值

①特征值最初称为特征根，起源于求解高阶微分方程。从微分方程驳离出特征根代数方程，它是一元n次代数方程。求出代数方程的根，再写出e指数模式即为微分方程的基函数。特征根方程有重根时，对应线性无关的基函数为e^(λt)、t·e^(λt)、t^2·e^(λt)···(重根用同一λ表示)。②研究发现将高阶微分方程化为一阶微分方程组，求解带来更多好处。提取一阶微分方程组系数即构成矩阵，对矩阵求特征值等价于高阶微分方程求特征根。特征值代数方程行列式表述为丨A－λE丨＝0。③高阶微分方程与一阶微分方程组的研究发展到此，ji待解决一元n次代数方程的求解；即便没有微分方程的推动，探究高次代数方程的解本身就是一个独立的数学大课题。早期伽罗瓦证明了当n>4时代数方程无公式解，继而人们转向求数值解，至此研究对象由代数方程转移到矩阵本身，随着计算机和数值分析理论发展，当今依靠矩阵的相似变换来求矩阵的特征值，一般采用Jacobⅰ和QR正交相似变换求矩阵的特征值与特征向量。在复数域对一元n次代数方程特别是无公式解的高次方程，可直接将方程系数写成矩阵，用QR正交相似变换求出n个数值解。④当特征值互异时，对应的特征向量线性无关。易写出对角阵e^(λt)，求出标准基解矩阵e^(At)＝P·e^(λt)·(P逆)。⑤当特征值有重根时，且几何重数