在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．

问题补充说明：在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时AP的值；若不存在，试说明理由．

解：（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB=5．

ⅰ）当∠BAQ=90°时，△AOB∽让技△BAQ，

∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{AB}{AO}$．解得$BQ=\frac{25}{4}$；

ⅱ）当∠BQA=90°时，BQ=OA=4，

∴Q$（{\frac{25}{4}，3}）$或Q（4，3）．（4分）

（2）令全游员还配背胡点P翻折后落在线段AB上的点E处，

则∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP；

又BQ∥OP，

∴∠PAQ=∠BQA，∴∠EAQ=∠BQA，

即AB=QB=5历供获权互须与．

∴$AP=\frac{1}360问答{2}BQ=\frac{5}{2}$，

∴$AE=AP=\frac{5}{2}=\frac{1}{2}AB$，即点E是AB的中点．

过点E作EF⊥BQ，垂足为点E，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，

则$EF=\frac{3}{2}$，$PH=\frac{3}{2}$，∴EF=PH．

又EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，

∴△EQF≌△PHQ，

∴府触静尼屋了破婷略∠EQF=∠PQH被病精，从而∠PQE=90°．

∴∠AQP=∠AQE=45°．（8分）

（3）当点C在线段PQ上时，延长BQ与AC的延长线交于茶初比与执粮息点F，

∵AC⊥AB，

∴△AOB∽△FHA．

∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FH}$即$\frac{5}{FA}=\frac{4}{3}$，

∴$FA=\frac{15}{4}$．

∵DQ∥AC，DQ=AC，且D为BC中点影担甚意办面曲祖紧，

∴FC=2DQ=2A眼律报住许教取翻接C．

∴$AC=\fr屋ac{5}{4}$．

甚全垂烟厚太计让色在Rt△BAC中，tan∠ABC=$\frac{1}{4}$；

当点C在PQ的延长线上时，记BQ与AC的交点为F，记AD与BQ的交点为G，

∵CQ∥AD，CQ=AD且D为BC中点，

∴AD=CQ=2DG．

∴CQ=2AG=2PQ．

∴FC=2AF．

∴$AC=\frac{45要卫就立支良白余分减}{4}$．

在Rt△BAC中，tan∠ABC=$\frac{9}{4}$司只了级切吃愿．（12分）