周期函数的几个结论

周期函数的几个结论

下面是周期函数性质

(1)若T(≠0)是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

(2)若T(≠0)是f(X)的周期，则nT(n为任意非零整数)也是f(X)的周期。

(3)若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。

(4)若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

(5)T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则(Q是有理数集背修及层执易读环了移买)

(6)若T1、T2迅主负浓在定是f(X)的两个周期，且T1/成T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。

(来自7)周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

编辑本段周期函数的判定

定理1

若f(X)是在集M上以T免*为最小正周期的望控安己在极回战井均刚周期函数则Kf(X)+C(K≠0)和1/f(X)分别是集M和集{X/f(X)≠0，X}上的以T*为最小正周期的周期函数。[1]

证:

∵T*是f(X)的周期，∴对有X±T*且f(X+T*)=f(X)，∴Kf(X)+C=Kf(X+T*)+C，

∴Kf(X)+C也是M上以T*为周期的周期函360问答数。

假设T*不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’(0＜T’＜T*)是Kf(X)+C的周期，则对，

有Kf(X+T’)+C=Kf(X)+CK[f(X+T’)-f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)-f(X)=0，∴f(X+T’)=f(X)，

∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是Kf(X)+C的最小正周期。

同理可证1/f(X)是集{X洲言肉喜值加源请较/f(X)≠0，X}上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2

若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集{X/aX+n}上的以T*/为最小正周期的周期函数，(其中a、b为老受她或方既挥组压既常数)。

证:

先证是f(ax+b)的周期

∵T*是f移冷件做句易们写清列(X)的周期，∴，有X±T*∈M，∴a(X)+b=ax+b±T*∈M，且f[a(X+T)+b]=f(ax+b±T*)=f(ax+b婷兴关示权态曲木)∴是f(ax+b)的周期。

再证是f(ax+b)的最小正周期

假设存在T’(0＜T’＜)是f(ax+b)的周期，

脸备则f(a(x+T’)+b电们)=f(ax+b)，即f(ax+片核距除板片b+aT’)=f(ax+b)，

因当X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，

∴aT’是f(没红首搞田同硫它需X)的周期，但＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。

定理3

设f(u)是定义在集M上的函数u=g(x)是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。

证:

设T是u=g(x)的周期，则1有(x±T)∈M1且g(x+T)=g(x)∴f(g(x+T))=f(g(x))

∴=f(g(x))是M1上的周期函数。

例1

设=f(u)=u2是非周期函数，u=g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是路危无器院事杀希R上的周期函数。

同理可得:(1)f(X)=Sin(c线建osx)，(2)f(X)=Sin(tgx)，(3)f(X)=Sin2x，(4)f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。

例2

f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)眼准顺易道差=ax+b(a≠0)是非周期函演货洋数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数(中学数学中已证)。

例3

f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)=(非周期函数)而f(g(x))=cos是非周期函数。

证:假设cos是周期函数，则存在T＞0使cos(k∈Z)与定义中T是与X无关的常数矛盾，

∴cos不是周期函数。

由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u=g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。

定理4

设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。

证:

设((p•q)=1)设T=T1q=T2p则有:有(x±T)=(x±T1q)=(x±T2p)∈M，且f1(x+T)±f2(x+T)=f1(x+T1q)±f2(x+T2p)=f1(X)±f2(X)∴f1(X)±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证:f1(X)、f2(X)是以T为周期的周期函数。

定理4推论

设f1(X)、f2(X)……fn(X)是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若，…(或T1，T2……Tn中任意两个之比)都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

例4

f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。

例5

讨论f(X)=的周期性

解:2tg3是以T1=为最小正周期的周期函数。

5tg是以T2为最小正周期的周期函数。

tg2是以T3=为最小正周期的周期函数。

又都是有理数

∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数(T1、T2、T3)=为最小正周期的周期函数。

同理可证:

(1)f(X)=cos;

(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。

定理5

设f1(x)=sina1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

证

先证充分性:

若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1=、T2=，又∈Q

由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。

再证必要性(仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明)。

(1)设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T＞0，

使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x2cos(a1x+)sin=-2sins(a2x+)sin(1)。

令x=得2cos(a1x+)，则(K∈Z)。(2)

或C∈Z(3)

又在(1)中令2sin(a2x+)sin=-2sin=0

由(4)

由sin(5)

由上述(2)与(3)，(4)与(5)都分别至少有一个成立。

由(3)、(5得)(6)

∴无论(2)、(4)、(6)中那一式成立都有a1/a2。

(2)设sinaxcosa2x为周期函数，则是周期函数。

编辑本段非周期函数的判定

[1](1)若f(X)的定义域有界

例:f(X)=cosx(≤10)不是周期函数。

(2)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)=f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)-f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。

例:f(X)=cos是非周期函数。

(3)一般用反证法证明。(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。

例:证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。

证:假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T(≠0)，使对，a(x+T)+b=ax+bax+aT-ax=0aT=0又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。

例:证f(X)=是非周期函数。

证:假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对，有(x+T)=f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0,∴f(x+T)=1，∴f(x+T)≠f(X)与f(x+T)=f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。

例:证f(X)=sinx2是非周期函数

证:若f(X)=sinx2是周期函数，则存在T(＞0)，使对，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X=T有sin(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴(+1)2

T2=Lπ(L∈Z+)，∴

与3+2是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数