平面镶嵌
的有关信息介绍如下:问题补充说明:有下列正多边形:①正三角形;②正方形;③正六边形;④正十二边形,从中任选二种或二种以上的图形结合在一起作平面镶嵌(每种图形可重复)请你设计4种符合上述条件的平面镶嵌方案,并指出每一种设计方案所用到的正多边形的序号(不需要作出平面镶嵌图形).
平面镶嵌:
正多边形有无限多种,正三角形策调蒸极顺配阳们灯、正方形、正五边形等等。其实,任何边数的正多边形都存在,因为可以设想将圆周n等分(n≥3),顺次连接相邻的分点,那菜红七却父止效西故多么得到的内接多边形就是正n边形。
我们的360问答问题是用正多形来镶嵌平面,也就是说取正多边形,彼此不重叠地铺放在地面上觉倒通试迫也位抗充,不准有任何地面露出来。
显然,用同样大小的正方形、正三角形、正种药还配设术说六边形,各自都可以铺满平面。
一溶丝必新卫究图听重然而,如果这种镶嵌不限于用同一种正多边形,只要求同一种正多边形是有同样尺寸的。那么怎样寻求其它种类的镶嵌方案呢?
一、如果能实现平面的镶嵌,镶嵌图的每个顶点都必须是集中了几个正多边形的顶角。于是在每一顶点集中的顶角刚好拼成一个圆周角。因为每一个正n边形的内角为倍的直角,即,因此,要找到这样的拼刻亲爱论钢跟内孩图,须找到正整数n,p,q,r,……,使
这是个奇怪的管岩医此春请走特宽方程式。其奇怪之处在于未知数的个数未确定,但限制未知数必须是不小于3的整数。这个方程不只有一组解,但是能有多少组解呢?
让我们先作一点分析。假定有m个大于3的整数满足方程,记为(n1,n2,n3回法香用...nm),即
于是有
书引周集望即
由于n1,n2,…nm每顺单且厚项地当台到个都不小于3,于是由,知道必有,故m≤6。
又由于一个顶点处至少要有三个角拼在一起才行,否则必有超过或等于180°的角,所以m≥3。侵沿至此,我们的解答中,每一组解中未知数个数只能是3,4,5,6之中。现在看看怎样求解。
令n=3,则
令p=3,则
令q=3,则
令r=3,则
令s=3,则
令t=3,则
这就是说,我们找到了6个数,n=3,p=3,q=3,r=3,t若府圆以科九困效火绝=3,这组解记为(3,3,3,3,3)。请看图中的第二个图,这就是这组解相应的镶嵌图。
注意上面令s=3时,注定了t必须得3。因此上面求解中进行到r=3之后,有方程
(1)令s=4,试试则有
于是t=3,4,5,…,都会使这样的方程的右端成为负数,这是不可能的,故在n=3,p她与蒸染促除议=3,q=3,r=3之后,s=4是不可能的。
(2)令s=5,试试,这时
这时,若t=3,则
u取任何大于3的正整数皆使以后这样的方程右端为负数,故令s=5试验是失败的。这又说明s=5是不可能的。
(3)令s=6,这时正好有。对s>6不用试了,因为这将使以后这样的方程右端为负数。至此得另一组解(3,3,3,3仅进,6)。
二、上面的求解方同灯女验常达技弦程虽然显的笨拙,但美可己晶省二看教此器这是有用的。把各种可能发生的情况都逐一考虑,只要问题本身是有有限种解答,那么都举出来研究,这叫“穷举法”。
继续上面的推理,已经考虑了解答中出现六个3的情况,及出现四个3与一个6的情形。下面考虑三个3的情形,经过推导,容易落部赶得出解答(3,3,3,4,4)盾效,含三个3的只有这一种可能。
接着考虑含有两个3的解答,可得(3,3,6,6),(3,3,4,12)。
若考虑含有一个3的解答,得(3,7,42),(3,8,24),(3,9,18),(3,10,15),(3,12,12)
下面列出17组解答:
(3,7,42)
(3,8,24)
(3,9,18)
(3,10,15)
(3,12,12)
(4,5,20)
(4,6,12)
(4,8,8)
(5,5,10)
(6,6,6)
(3,3,4,12)
(3,3,6,6)
(3,4,4,6)
(4,4,4,4)
(3,3,3,4,4)
(3,3,3,3,6)
(3,3,3,3,3,3)
有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前,西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地给制出了这些图样,真是令人叹为观止。