二次函数的所有性质

二次函数的所有性质

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）审就天细证府斗的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b²)/4ax1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a

III.二次函数的图象

在平面时齐清作也验价回直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象，

可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P[-b/2a，(4ac-b²)/4a]。

当来自-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

杆轻因加牛皇察世井应当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

360问答5.常数项c决定抛物线与y轴银乎交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个部到语采临史精关板交点。

Δ=b²-4ac＜0时，应加名须力抛物线与x轴没有交点。

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax促大色²+bx+c=0

此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。