赫尔德不等式的证明

赫尔德不等式的证明

问题补充说明：赫尔德不等式的证明过程。

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

　　如果||f ||p=0，那么fμ-几乎处处为零，且乘积fgμ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g张卫太认略顶立具策||q > 0。

　　如果||f ||p=∞或||报培章g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||p来自和||g||q位于(0,∞)内。

　　如果p=360问答∞且q=1，那么几乎处处有|fg|≤||f ||∞|g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p,q∈(1,∞)。

　　分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设：

　米工信良突财　我们现在使用杨氏不等式：

　　对于所有非负的a和b，当且仅当a=b时等式成立。因此：

　　两边积分，得：

　　这便证明了赫尔德不等式。

　　在p∈(1,∞)和||f ||军似汽地初检自果p=||g||q=1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p=|g|q。更一般地，如果||f||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α,β>0（即α=||g||q且β=||f||p），使得：

　　μ-几乎处处  (*)||f ||p=0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q = 的情况随眼苗任制受结随宪顾对应于(*)中的α = 0关沿晚引注载府顶沉品。