圆内接三角形有甚么性质?

圆内接三角形有甚么性质?

圆内接三角形的一个性质及应用

五方向王永梅

性质：三角形任意两边的乘积等于第三边上的高与其外接圆直径的乘积。

已知圆O是△ABC的外接圆，AD是边BC上的高，AE是圆O的直径。

求证：AB·AC=AD·AE。

证明：如图1所示，连结BE，则有

图1

又AD上是边BC上的高，

所以

故

即

因此，AB·AC=A会格业D·AE。

该性质应用非常广泛，巧妙地应用此性质解题，能简化解题过程。现举例说明如下：

1.证明等积式

例1.如图2所示，已知AB为圆O的一条弦，C、D在圆O上且执局深优在AB的同侧，求证：AD·BD·CE=AC·B门C·DF。

图2

证明：设圆O的直径为d，则

AD·药护调住已难上修水味回BD=DF·d

AC·BC=CE·d

两式相乘得

AD·BD·CE·d=AC·BC·DF·d

即

2.证足路轮望明比例式

例2.已知圆O的内接四来自边形ABCD的对角线BD平分AC于E。求证；。

证明：如图3所示，分别过点A、C作。

图3

设圆O的直径为d，则

3.证明定值

例3.两圆相交于两点A、B，经过交点B的任意一直线和两圆分压别相交于点C、D。求证：激AC与AD的比为定值。

证明：如图4所示，连结AB，过A作

图4

设圆O1、圆O2的直径分别为，则，两式相除，得（为定值科愿比）。

4.求函数式

例4.如图5所示，已知圆O的内接△ABC中，AB+AC=12，且AD=3。设圆O的半径为y，AB的长为x。求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。

图5

解：连结AO，并延长交圆O于E加，则

因为△ABD、△ACD均为直角三角形，且

AD=3耐好油线香换，所以

即自变量x的取值范围是。

练习：

已知AC、BD是圆O的内接四边形的两条对角略位静准洋坚诉道收送线，且。

求证：是定值。