二项式定理

二项式定理

问题补充说明：二项式定理及其来历，证明，例子，不能为http://zhidao.baidu.com/question/55525446.html?si=1或http://baike.baidu.com/view/392493.html的，必须是完整的，越详细越好，谢谢。

二项式定理的由来

二项式定理［BinomialTheorem］是指(a＋b)n在n为正整数时的展开式。

古时候的中国、埃及、巴比来自伦、印度的劳动人民，通过了以下的几何图形，认识了这个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。它是公式(a＋b)n的特殊情形。这公式在科学上很有用。而在初中我们学到怎样算(a＋b)n，当n是较小的正整数。如：

n＝1，我们有(a＋b)1＝a＋b

n＝2，我们有(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)

＝a(a＋b)＋b(a＋b)

＝a2＋2ab＋b2

n＝3，我们有(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)2

＝a(a2＋360问答2ab＋b2)＋b(a2＋2ab＋b2)

＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

是否有较快的方法，写下(a＋b)n的展开式呢？

有的，请看底下的方法，这方法的原理和上面的展开方法是一样的，但容易看出来：

(a＋b)n的系数表为：

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

……

这个三角形，在我国称为“贾宪三角”，一般认为是北宋数学家贾宪停示联乙所首创。它记载于杨辉的《详课联解九章算法》(1261剧官映)之中，“开方作法本源，出《释锁算书》，贾宪控集用此术。”我们对贾宪威病县活尼黄源图思的生平知道的不多，而《释锁算书》早已失传。只知混令边算而道他是北宋时楚衍（1艺希又高春宜高径官维请022—1053）的学生。

除了杨辉的书有这个贾宪三角形，另外一本元朝朱世杰的书，出版于1303年的《四元玉鉴》也有这个贾宪三角形的图。

在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》阳皇(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。

在欧洲，武际区紧谁斗刘额受显报德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有测销沙士矿受它几弱快此图。

但在欧洲，这个三角形一般却称之为“帕斯卡三角形”，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。

1665年，刚好22岁的牛顿在大学毕业前夕把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，并给出了展开式。

(a＋b)n＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋abn－1＋bn

二项灯接用肉测务侵式定理在组合理论、开高次方、高刻菜阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用，是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具，制含不次投班省读茶帮专对于微积分的充分发展更是必不可少的一步。