斐差晚担革协析吃波那契数列的规律是什么？

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问题补充说明：各位哥哥姐姐来帮帮忙！！！！！！！！！！！！！！！！！！

通项公式

　　（见图）（又叫“比内公式”，是用红许李亚奏通搞紧句新那无理数表示有理数的一个范例。）

　　注：此时a1=1，a360问答2=1，an=a(n-1)+a(n-2）（n>=3,n单∈N*）

通项公式的推导

　　斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

　　如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。那么这句话可以写成如下形式：

　　F(0)=0，F(与根1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2），

　　显然这是一个线性递推数列。

　　方法一：利用特征方程（线性代数解法）

　　线性递推数列的特征方程为普风铁向慢跳思部：

　　X^2=X+1

　　解得

　　X1象医料富排=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。

　　则F(n)=C1*X1^n+C2*X2^n。

　　∵F(1)=F(2)=1。

　　∴C1*X1+C2*X2。

其马也导视守务的音脚们　　C1*X1^语钢粮曲记故尼件突计2+C2*X2^2。

　　解得C1=√5/5，C2=袁失冲紧草阶普迅-√5/5。

　　∴F(n美形带物)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）。

　　方法二：待定系数法构造等比数列1胜题谈协口（初等代数解法）

　　设常数r，息包便缩短导怀别很许击s。

　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。

　　则r+s=1，-rs=1。

　　n≥层官石3时，有。

　　F(n)-r*F(n-1)=操态承婷民字世s*[F(n-1特太载实)-r*F(n-2)]。

　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。

　　F(n-2)-r*F齐困职物请光聚(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。

　　……

　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。

　　联立以上n-2个式子，得：

　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。

　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。

　　上式可化简得：

　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。

　　那么：

　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。

　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*F(n-2）。

　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+r^3*F(n-3）。

　　……

　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)*F(1）。

　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1）。

　　（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。

　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。

　　=(s^n-r^n)/(s-r）。

　　r+s=1，-rs=1的一解为s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。

　　则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}。

　　方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）

　　已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。

　　解：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。

　　得α+β=1。

　　αβ=-1。

　　构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。

　　所以。

　　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。

　　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。

　　由式1，式2，可得。

　　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。

　　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。

　　将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}。

与黄金分割的关系

　　有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割1.618.

　　1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...

　　越到后面，这些比值越接近黄金比.

　　证明：

　　a[n+2]=a[n+1]+a[n]。

　　两边同时除以a[n+1]得到：

　　a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

　　若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，

　　则lim[n->；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；∞](a[n+1]/a[n])=x。

　　所以x=1+1/x。

　　即x²=x+1。

　　所以极限是黄金分割比..