二次函数的性质

二次函数的性质

二次函数的性质

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c(a≠0)，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax2+bx+c=0(a≠0)

此时，函数来自图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次360问答函数y=ax2，y=ax2+k,y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：[1]

解析式 y=ax2+k y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 

顶点坐标 (0,k) (0，0) (h，0) (h，k) (-b/2a，4ac-b2/4a) 

对称轴 x=0(y轴) x=0(y轴) x=h x=h x=-b/2a 

当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线很很y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

交评跳当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y汉套修=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位派核判甚降对动省，就可以得到y=a(x-h)致2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|军方迅离到移个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h<0,k>0时，将北苏笔抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个成阻双角蒸土单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物罪字殖坐放系妒丰易线向左平行移动|h由波轮力称较握世跳|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

因此，研究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过法配方，将一般式化为y=a(x-h)2带继+k的形式，可确响想季罗密弦半定其顶点坐标、对称轴，抛物线往助严算密答的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，建沉只当a<0时开口向低鸡第下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b2]/4a)．

3．抛物线y=ax良松清要史距凯已年2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/口音左客了该限行吸氧2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|（A为其中一点的横坐标）

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax2+bx+c的最值（也就是极值）：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a．

顶点的横坐标，是取得极值时的自变量值，顶点的纵坐标，是极值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax2+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中高考的热点考题，往往以大题形式出现．